برای تعیین علامت تابع \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{3 - x} \)، باید ابتدا ریشه‌های صورت و مخرج را پیدا کنیم و سپس جدول علامت را تشکیل دهیم.
### 1. ریشه‌های صورت و مخرج:
- **ریشه‌های صورت:**
تابع صورت \( x^2 - 3x + 2 \) یک معادله درجه دوم است که می‌توان با استفاده از فرمول یا تجزیه آن را حل کرد. با تجزیه:
\[
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
\]
پس ریشه‌های صورت \( x = 1 \) و \( x = 2 \) هستند.
- **ریشه مخرج:**
معادله \( 3 - x = 0 \) حل می‌شود:
\[
x = 3
\]
### 2. جدول علامت:
حال باید علامت تابع را در فواصل مختلف بررسی کنیم. نقاط بحرانی ما \( x = 1 \)، \( x = 2 \) و \( x = 3 \) هستند که این فواصل را ایجاد می‌کنند:
- \( x < 1 \)
- \( 1 < x < 2 \)
- \( 2 < x < 3 \)
- \( x > 3 \)
### 3. بررسی علامت در فواصل:
می‌توانید یک مقدار در هر یک از این فواصل انتخاب کرده و علامت تابع \( f(x) \) را ارزیابی کنید:
- **برای \( x < 1 \) (مثلاً \( x = 0 \)):**
- صورت: \( x^2 - 3x + 2 = 2 \) (مثبت)
- مخرج: \( 3 - x = 3 \) (مثبت)
- علامت تابع: مثبت
- **برای \( 1 < x < 2 \) (مثلاً \( x = 1.5 \)):**
- صورت: \( 1.5^2 - 3 \times 1.5 + 2 = -0.25 \) (منفی)
- مخرج: \( 3 - 1.5 = 1.5 \) (مثبت)
- علامت تابع: منفی
- **برای \( 2 < x < 3 \) (مثلاً \( x = 2.5 \)):**
- صورت: \( 2.5^2 - 3 \times 2.5 + 2 = -0.25 \) (منفی)
- مخرج: \( 3 - 2.5 = 0.5 \) (مثبت)
- علامت تابع: منفی
- **برای \( x > 3 \) (مثلاً \( x = 4 \)):**
- صورت: \( 4^2 - 3 \times 4 + 2 = 6 \) (مثبت)
- مخرج: \( 3 - 4 = -1 \) (منفی)
- علامت تابع: منفی
### نتیجه:
پس علامت تابع در فواصل مختلف به شکل زیر است:
- \( x < 1 \): مثبت
- \( 1 < x < 3 \): منفی
- \( x > 3 \): منفی
در نقاط \( x = 1 \)، \( x = 2 \) و \( x = 3 \) تابع تعریف نشده یا صفر است.
