برای حل این سوال، از قوانین احتمال و توزیع دو جمله‌ای استفاده میکنیم. در این مسئله، ما در حال پرتاب یک تاس (که از ۱ تا ۶ عدد دارد) ۱۵ بار هستیم و می‌خواهیم احتمال اینکه ۶ بار عدد فرد (یعنی ۱، ۳، یا ۵) بیاید را محاسبه کنیم.
ابتدا، مشخصات پرتاب تاس را بررسی میکنیم:
- تعداد پرتاب‌ها (n): ۱۵
- تعداد موفقیت‌ها (k): ۶ (یعنی ۶ بار عدد فرد)
- احتمال موفقیت در هر پرتاب (p): از آنجا که ۳ عدد فرد از ۶ عدد وجود دارد، احتمال اینکه در یک پرتاب عدد فرد بیفتد برابر است با \( p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
- بنابراین، احتمال شکست (عدم آمدن عدد فرد) برابر با \( q = 1 - p = \frac{1}{2} \).
حالا می‌توانیم از فرمول توزیع دو جمله‌ای استفاده کنیم:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
\]
که در اینجا:
- \( \binom{n}{k} \) نمایانگر تعداد ترکیب‌ها (نحوه انتخاب k موفقیت از n پرتاب) است.
- \( p^k \) احتمال موفقیت‌ها است.
- \( q^{n-k} \) احتمال شکست‌ها است.
حالا مقادیر را جایگذاری میکنیم:
\[
P(X = 6) = \binom{15}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^6 \left(\frac{1}{2}\right)^{15-6}
\]
که به سادگی می‌توان نوشت:
\[
P(X = 6) = \binom{15}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{15}
\]
حالا ابتدا مقدار \(\binom{15}{6}\) را محاسبه میکنیم:
\[
\binom{15}{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6! \cdot 9!}
\]
که محاسبه آن به صورت زیر است:
\[
\binom{15}{6} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005
\]
حال، مقدار احتمال را محاسبه میکنیم:
\[
P(X = 6) = 5005 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{15}
\]
\[
P(X = 6) = 5005 \cdot \frac{1}{32768}
\]
\[
P(X = 6) \approx 0.1526
\]
بنابراین احتمال اینکه در ۱۵ بار پرتاب تاس، دقیقاً ۶ بار عدد فرد بیفتد تقریباً برابر با \( 0.1526 \) یا ۱۵.26٪ است.
