ابتدا به سوال اول توجه میکنیم:
\[ x^2 + 4x - 24 = 0 \]
برای تجزیه این معادله درجه دو میتوانیم از فرمول کلی یا روش تکمیل مربع استفاده کنیم. اما در اینجا از روش فرمول کلی استفاده میکنیم:
فرمول کلی معادله درجه دو \( ax^2 + bx + c = 0 \) به شکل زیر است:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
در این معادله داریم \( a = 1 \)، \( b = 4 \)، \( c = -24 \).
حال جایگذاری میکنیم:
\[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-24) = 16 + 96 = 112 \]
بنابراین:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{2} \]
ریشه را به شکل زیر ساده میکنیم:
\[ \sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7} \]
در نتیجه:
\[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{7}}{2} \]
سادهسازی میکنیم:
\[ x = -2 \pm 2\sqrt{7} \]
ریشهها: \( x = -2 + 2\sqrt{7} \) و \( x = -2 - 2\sqrt{7} \)
برای سوال دوم:
\[ x^4 - x = 0 \]
میتوان \( x \) را فاکتور بگیریم:
\[ x(x^3 - 1) = 0 \]
این معادله برای \( x = 0 \) صدق میکند. حال معادله باقیمانده \( x^3 - 1 = 0 \) را بررسی میکنیم:
\[ x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0 \]
بنابراین ریشههای \( x^3 - 1 = 0 \) عبارتند از: \( x = 1 \) و ریشههای معادله درجه دو \( x^2 + x + 1 = 0 \).
ریشههای این معادله درجه دو با استفاده از فرمول کلی به دست میآید:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \]
که ریشههای مختلط دارد:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \]
اما در زمینه جوابهای حقیقی، ریشههای نهایی برای سوال دوم عبارتند از: \( x = 0 \) و \( x = 1 \).
