برای حل این مسئله باید با نابرابریهای مثلثاتی کار کنیم:
1. \( \tan x + \sin x > 0 \)
2. \( \cos 2x > 0 \)
ابتدا به \( \cos 2x > 0 \) توجه میکنیم:
- \( \cos 2x > 0 \) برای زوایایی که در ربع اول و چهارم واحد مثلثاتی قرار دارند، برقرار است. زیرا در این ربعها \(\cos\) مثبت میباشد.
سپس به \( \tan x + \sin x > 0 \) میپردازیم:
- \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) است. بنابراین
\[
\frac{\sin x}{\cos x} + \sin x > 0
\]
\[
\Rightarrow \sin x (\frac{1}{\cos x} + 1) > 0
\]
این نابرابری زمانی برقرار است که \(\sin x > 0\) باشد و \(\frac{1}{\cos x} + 1 > 0\) نیز یک شرط اضافه است که همیشه برای \(\cos x > 0\) برقرار است. بنابراین شرط بالا به این ختم میشود:
- \(x\) باید در ربع اول باشد که در این ربع هم \(\sin x\) و هم \(\cos x\) مثبتاند و \(\tan x\) نیز مثبت است.
با توجه به این بررسیها، گزینهای که \(x\) را در ربع اول نشان دهد، صحیح است. گزینه \(4\) در تصویر نشاندهنده ربع اول و ناحیه مناسب برای \(\tan x > 0\) و \(\cos 2x > 0\) است.
بنابراین پاسخ گزینه \(4\) میباشد.
