برای حل این مسئله باید با نابرابری‌های مثلثاتی کار کنیم: 1. \( \tan x + \sin x > 0 \) 2. \( \cos 2x > 0 \) ابتدا به \( \cos 2x > 0 \) توجه می‌کنیم: - \( \cos 2x > 0 \) برای زوایایی که در ربع اول و چهارم واحد مثلثاتی قرار دارند، برقرار است. زیرا در این ربع‌ها \(\cos\) مثبت می‌باشد. سپس به \( \tan x + \sin x > 0 \) می‌پردازیم: - \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) است. بنابراین \[ \frac{\sin x}{\cos x} + \sin x > 0 \] \[ \Rightarrow \sin x (\frac{1}{\cos x} + 1) > 0 \] این نابرابری زمانی برقرار است که \(\sin x > 0\) باشد و \(\frac{1}{\cos x} + 1 > 0\) نیز یک شرط اضافه است که همیشه برای \(\cos x > 0\) برقرار است. بنابراین شرط بالا به این ختم می‌شود: - \(x\) باید در ربع اول باشد که در این ربع هم \(\sin x\) و هم \(\cos x\) مثبت‌اند و \(\tan x\) نیز مثبت است. با توجه به این بررسی‌ها، گزینه‌ای که \(x\) را در ربع اول نشان دهد، صحیح است. گزینه \(4\) در تصویر نشان‌دهنده ربع اول و ناحیه مناسب برای \(\tan x > 0\) و \(\cos 2x > 0\) است. بنابراین پاسخ گزینه \(4\) می‌باشد.