برای تعیین دوره تناوب تابع \( y = \frac{1 - 2\sin^2 x}{2\cos^2 x - 1} \)، ابتدا میتوانیم این تابع را به شکلی سادهتر بررسی کنیم:
تابع را به فرم مثلثاتیای که میشناسیم نزدیک کنیم:
1. \( 1 - 2\sin^2 x \) به فرم \( \cos 2x \) است، زیرا \( 2\sin^2 x = 1 - \cos 2x \) و بنابراین:
\[
1 - 2\sin^2 x = \cos 2x
\]
2. \( 2\cos^2 x - 1 \) نیز به فرم \( \cos 2x \) است، زیرا \( 2\cos^2 x - 1 = \cos 2x \).
بنابراین تابع ما ساده میشود:
\[
y = \frac{\cos 2x}{\cos 2x}
\]
در صورتی که \( \cos 2x \neq 0 \)، تابع برابر ۱ شده و یک تابع ثابت است که دوره تناوبش نامعین است.
اما چون \( \cos 2x \) تابعی متناوب با دوره \( \pi \) است و نقاطی وجود دارد که \( \cos 2x = 0 \)، مثل \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) برای \( k \in \mathbb{Z} \)، بنابراین دوره تناوب به شکل کامل \( \pi \) است.
پاسخ صحیح گزینه ۲ است: \( \pi \)
