برای حل این مسئله، از قوانین مثلثاتی باید استفاده کنیم.
مقدار عبارت:
\[ 1 - 2 \cos 70^\circ \cos 110^\circ \]
با استفاده از فرمول جمع و تفاضل مثلثاتی، داریم:
\[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B)) \]
بنابراین:
\[ 2 \cos 70^\circ \cos 110^\circ = \cos(70^\circ + 110^\circ) + \cos(70^\circ - 110^\circ) \]
محاسبه می‌کنیم:
1. \( 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \)
2. \( 70^\circ - 110^\circ = -40^\circ \)
می‌دانیم که \(\cos 180^\circ = -1\) و \(\cos(-40^\circ) = \cos 40^\circ\).
پس:
\[ \cos 70^\circ \cos 110^\circ = \frac{1}{2}(-1 + \cos 40^\circ) \]
اما در پرسش آمده است که:
\[ 1 - 2 \cos 70^\circ \cos 110^\circ = 1 - (-1 + \cos 40^\circ) \]
ساده‌سازی می‌شود:
\[ 1 + 1 - \cos 40^\circ = 2 - \cos 40^\circ \]
این بیان باید برابر با یکی از گزینه‌های داده شده باشد.
گزینه‌ها همگی در درجه هستند که نشان می‌دهد باید زوایا را بر اساس روابط مثلثاتی تغییر داد. در اینجا فقط نیاز بود تا تحلیل کنیم و تشخیص دهیم:
گزینه \(\sin 240^\circ\) برابر است با:
\(\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
و گزینه \(\cos 240^\circ\) برابر است با:
\(\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\)
بنابراین با بررسی دقیق، باید در نظر داشت که مراحل بالا جهت حذف اشتباهات است و نیاز است که مقایسه کنیم. در نتیجه:
گزینه \(\cos 240^\circ\): صحیح است زیرا برآیند به صورت مقدار واقعی با خطوط زاویه‌ای تجانس دارد.
بنابراین، پاسخ نهایی: گزینه دوم.
