برای حل این سوال، دامنه تابع داده شده \( f(x) = \frac{x}{x^2 + ax + b} \) باید \( \mathbb{R} - \{-1, 1\} \) باشد. به این معنی که مقادیر \(-1\) و \(1\) نباید موجب صفر شدن مخرج کسر شوند.
برای این‌که مخرج صفر نشود، عبارت \(x^2 + ax + b\) نباید در این نقاط صفر شود:
1. به ازای \(x = -1\):
\((-1)^2 + a(-1) + b = 0\Rightarrow 1 - a + b = 0\Rightarrow b = a - 1\)
2. به ازای \(x = 1\):
\(1^2 + a(1) + b = 0\Rightarrow 1 + a + b = 0\Rightarrow b = -1 - a\)
حالا دو معادله داریم:
\[ b = a - 1 \]
\[ b = -1 - a \]
با هم‌مساوی قرار دادن این دو معادله:
\[ a - 1 = -1 - a \]
\[ 2a = 0\Rightarrow a = 0 \]
با جایگذاری \(a = 0\) در هر یک از معادلات فوق،:
\[ b = 0 - 1 = -1 \]
پس \(a = 0\) و \(b = -1\) که جمع آن‌ها:
\[ a + b = 0 - 1 = -1 \]
بنابراین، پاسخ درست گزینه \(3) -1\) است.
