برای اثبات درستی رابطهی داده شده، مراحل زیر را انجام میدهیم:
رابطهی داده شده به صورت زیر است:
\[
\frac{1+\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{2}{\sin x}
\]
قدم اول: مخرج مشترک بگیرید.
\[
\frac{(1+\cos x)^2 + \sin^2 x}{\sin x (1+\cos x)} = \frac{2}{\sin x}
\]
قدم دوم: صورت کسر را ساده کنید.
\[
(1+\cos x)^2 + \sin^2 x = 1 + 2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x
\]
از رابطهی مثلثاتی \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) استفاده میکنیم:
\[
1 + 2\cos x + 1 = 2 + 2\cos x
\]
بنابراین، صورت کسر برابر است با:
\[
\frac{2(1+\cos x)}{\sin x (1+\cos x)}
\]
قدم سوم: صورت و مخرج را ساده کنید.
با ساده کردن \((1+\cos x)\) از صورت و مخرج، داریم:
\[
\frac{2}{\sin x} = \frac{2}{\sin x}
\]
پس رابطهی داده شده صحیح است.
