برای حل سوال شماره ۸، اطلاعات زیر داریم:
در یک دنباله هندسی داریم:
- جمله دوم: \( a_2 = ar \)
- جمله چهارم: \( a_4 = ar^3 \)
- جمله هفتم: \( a_7 = ar^6 \)
با توجه به موردی که گفته شده، جمله هفتم ۲۷ برابر جمله چهارم است:
\[ ar^6 = 27 \times ar^3 \]
حالا میتوانیم دو طرف معادله را بر \( ar^3 \) تقسیم کنیم:
\[ r^3 = 27 \]
با ریشهگیری از هر دو طرف، داریم:
\[ r = 3 \]
حالا که مقدار \( r \) را داریم، میتوانیم جمله عمومی \( (a_n) \) را بیابیم:
جمله دوم: \( ar = 6 \)
پس:
\[ a \times 3 = 6 \]
از اینجا:
\[ a = 2 \]
بنابراین جمله عمومی به شکل زیر است:
\[ a_n = 2 \times 3^{n-1} \]
بنابراین جمله عمومی این دنباله هندسی \( a_n = 2 \times 3^{n-1} \) است.
