برای حل مسئله و یافتن دامنه و برد تابع \( gof \)، ابتدا باید ترکیب دو تابع \( g(x) \) و \( f(x) \) را پیدا کنیم:
1. **تابع \( f(x) \)**:
\[
f(x) = x^2 - 7
\]
دامنه تابع \( f(x) \) همه اعداد حقیقی است، یعنی \( x \in \mathbb{R} \).
2. **تابع \( g(x) \)**:
\[
g(x) = \sqrt{-x} + 2
\]
برای اینکه این تابع تعریف شده باشد، باید:
\[
-x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0
\]
بنابراین دامنه تابع \( g(x) \) همه اعداد حقیقی غیرمثبت است، یعنی \( x \leq 0 \).
3. **ترکیب \( gof(x) \)**:
\[
gof(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 7)
\]
برای اینکه این تابع تعریف شده باشد، باید:
\[
x^2 - 7 \leq 0
\]
حل نابرابری:
\[
x^2 \leq 7 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}
\]
بنابراین دامنه تابع \( gof(x) \) برابر است با:
\[
-\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}
\]
با رعایت شرط بالا، تابع \( gof(x) \) نیز تعریف میشود و مقدار آن برابر است با:
\[
gof(x) = \sqrt{-f(x)} + 2 = \sqrt{-(x^2 - 7)} + 2
\]
