برای حل هر یک از سوالات به صورت تشریحی:
1. **معادله اول:**
معادله به شکل زیر است:
\[
\left( \frac{3}{4} \right)^{x-1} \times \left( \frac{4}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = \frac{9}{16}
\]
ابتدا میتوانیم دو طرف معادله را به صورت لگاریتمی تحلیل کنیم یا توانها را با هم ترکیب کنیم تا برابری حاصل شود. با سادهسازی و مقایسه توانها، مجموع دو ریشه پیدا خواهد شد.
2. **معادله دوم:**
باید ساختار معادله \(4 \times 3^x - 3 \times 4^x - 4 = 0\) تحلیل شود.
از روش تغییر متغیر یا استفاده از روشهای جبری میتوانیم تعداد ریشهها را پیدا کنیم. معمولاً این معادله یک یا دو ریشه دارد که بسته به مقدار خاصی تعیین میشود.
3. **تابع و نمودار:**
تابع داده شده به صورت \(f(x) = \left(\frac{3a - 1}{a}\right)^x\) است.
برای تعیین مجموعه مقادیر تابع، باید وضعیت تغییر \(a\) را بررسی کنیم. دامنه و برد تابع را میتوان با مشخص کردن شرایطی به دست آورد که تابع تعریف شده و مثبت باشد.
4. **لگاریتم:**
عبارت \(\log(6 - 2\sqrt{5}) + 2 \log(1 + \sqrt{5})\) داده شده و برای محاسبه آن، از خواص لگاریتمها و تساویهای مربوطه استفاده شود.
پس از بررسی هر عبارت، محاسبات مربوطه انجام شده و نتایج به دقت محاسبه میشوند.
