برای حل این سوال، عبارتها را به صورت کسرهای سادهتر در میآوریم.
### قسمت (الف):
عبارت کسری داده شده است:
\[
\frac{x^2 - 4x + 4}{4x^2 y - 8xy} \div \frac{x^2 + x - 6}{6x^2 + 18x}
\]
ابتدا کسرها را به فرم سادهتر در میآوریم:
- برای صورت و مخرج کسر اول، عاملگیری میکنیم:
- \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\)
- \(4x^2 y - 8xy = 4xy(x - 2)\)
بنابراین، کسر اول به صورت \(\frac{(x-2)^2}{4xy(x-2)}\) خواهد شد. این کسر را میتوان ساده کرد: \(\frac{x-2}{4xy}\).
- برای صورت و مخرج کسر دوم، عاملگیری میکنیم:
- \(x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)\)
- \(6x^2 + 18x = 6x(x + 3)\)
کسر دوم به صورت \(\frac{(x-2)(x+3)}{6x(x+3)}\) خواهد شد که میتواند ساده شود به: \(\frac{x-2}{6x}\).
حال، تقسیم کسرها:
\[
\left(\frac{x-2}{4xy}\right) \div \left(\frac{x-2}{6x}\right) = \frac{x-2}{4xy} \times \frac{6x}{x-2}
\]
با حذف \((x-2)\) در صورت و مخرج:
\[
\frac{6x}{4xy} = \frac{3}{2y}
\]
### قسمت (ب):
عبارت کسری:
\[
\frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+1}
\]
با پیدا کردن مخرج مشترک:
مخرج مشترک \((x-1)(x+1)\) است. بنابراین:
\[
\frac{3(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x + 3 + 2x - 2}{x^2-1} = \frac{5x + 1}{x^2 - 1}
\]
این جواب نهایی برای هر بخش است.
