سوالهای تصویر مربوط به ریاضی دهم هستند. در ادامه به توضیح مسائل مورد نظر میپردازیم:
**سوال ۳:**
داریم \( n(A) = 60 \)، \( n(B) = 70 \)، و \( n(A - B) = 15 \).
میخواهیم \( n(A \cup B) \) را بیابیم.
ابتدا \( n(A \cap B) \) را پیدا میکنیم:
از رابطه \[ n(A - B) = n(A) - n(A \cap B) \]
به این ترتیب داریم:
\[ n(A \cap B) = n(A) - n(A - B) = 60 - 15 = 45 \]
حالا از فرمول اجتماع دو مجموعه استفاده میکنیم:
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]
\[ n(A \cup B) = 60 + 70 - 45 = 85 \]
پس، پاسخ این سوال: \( n(A \cup B) = 85 \).
**سوال ۴:**
در یک دنباله هندسی با جملات چهارم و هفتم به ترتیب 24 و 192.
فرمول جملات دنباله هندسی: \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \).
از جمله چهارم و هفتم داریم:
\[ a_4 = a_1 \cdot r^3 = 24 \]
\[ a_7 = a_1 \cdot r^6 = 192 \]
با تقسیم معادله دوم بر اول داریم:
\[ r^3 = \frac{192}{24} = 8 \Rightarrow r = 2 \]
پس قدر نسبت \( r = 2 \).
**سوال ۵:**
مساحت مثلث متساویالساقین \( ABC \) برابر ۹ است.
مساحت مثلث:
\[ \text{مساحت} = \frac{1}{2} \times b \times h = 9\]
چون مثلث متساویالساقین است، و π/3 زاویهٔ بالای آنست، داریم:
ارتفاع \( h \) از زاویهٔ رأس بر مبنای مثلث متساویالساقین میتواند با استفاده از \( x \) بدست بیاید:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \times x \cdot \frac{1}{2} \times x = 9 \]
با حل این معادله، \( x \) مشخص میشود.
**سوال ۶:**
با توجه به \( \tan \alpha = -\frac{4}{3} \) و بازهٔ \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \).
ابتدا \( \sin \) و \( \cos \) را پیدا می کنیم:
\[ \tan = \frac{\sin}{\cos} \Rightarrow \sin = -4k, \cos = -3k \]
با استفاده از رابطه \(\sin^2 + \cos^2 = 1\):
\[ (-4k)^2 + (-3k)^2 = 1 \Rightarrow 16k^2 + 9k^2 = 1 \Rightarrow 25k^2 = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{5} \]
بنابراین:
\[ \cos \alpha = -3k = -\frac{3}{5}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{3}{4} \]
پاسخ سوالات پاسخ داده شد.
