سوال ۴ رو حل کنین

برای حل سوال ۴ ابتدا باید حداقل چند جمله از دنباله $5, 9, 13, 17, \ldots$ را به هم جمع کنیم تا مجموع بزرگ‌تر از ۲۳۰ شود. این دنباله یک دنباله حسابی است که جمله اول آن \( a_1 = 5 \) و قدر نسبت \( d = 4 \) است. ابتدا فرمول عمومی جملات دنباله را می‌نویسیم: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] \[ a_n = 5 + (n-1) \cdot 4 \] \[ a_n = 4n + 1 \] سپس مجموع جملات دنباله حسابی تا جمله \( n \)-ام را محاسبه می‌کنیم: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] با جایگذاری \( a_1 \) و \( a_n \): \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (5 + (4n + 1)) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (4n + 6) \] \[ S_n = 2n^2 + 3n \] حالا باید \( S_n > 230 \) شود: \[ 2n^2 + 3n > 230 \] معادله درجه دوم را حل می‌کنیم: \[ 2n^2 + 3n - 230 = 0 \] ریشه‌های معادله درجه دو با استفاده از فرمول کلی به دست می‌آیند: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] در اینجا، \( a = 2 \)، \( b = 3 \)، و \( c = -230 \) هستند: \[ b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 2 \times (-230) \] \[ b^2 - 4ac = 9 + 1840 \] \[ b^2 - 4ac = 1849 \] پس: \[ n = \frac{-3 \pm \sqrt{1849}}{4} \] \[ n = \frac{-3 \pm 43}{4} \] دو مقدار برای \( n \) خواهیم داشت: \[ n_1 = \frac{40}{4} = 10 \] \[ n_2 = \frac{-46}{4} = -11.5 \] چون \( n \) باید مثبت و عدد صحیح باشد، \( n = 10 \) است. پس حداقل ۱۰ جمله لازم است تا مجموع آن‌ها بزرگتر از ۲۳۰ شود.