برای اثبات این قضیه، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
### اثبات اول:
فرض کنید یک خط راست و یک دایره داریم که در نقطه \( T \) به هم مماس هستند و این نقطه تماس تنها نقطه تماس آنها است. ادعا این است که خط بر شعاع دایره در نقطه تماس عمود است.
1. **نقطه تماس و شعاع دایره**:
- مرکز دایره \( O \) و شعاع آن \( OT \) باشد.
- چنانکه مشخص است، نقطه \( T \) نقطه تماس است.
2. **فرض کردن عمود بودن**:
- فرض کنید خط \( l \) بر \( OT \) عمود نیست.
- این به معنای این است که میتوانیم خط دیگری از نقطه \( O \) رسم کنیم که از \( T \) نگذرد و با دایره مماس نباشد.
3. **تناقض**:
- اما فرض بر این بود که خط \( l \) تنها خطی است که از \( T \) عبور کرده و بر دایره در \( T \) مماس است.
- پس خط \( l \) باید بر \( OT \) عمود باشد.
### اثبات دوم (با استفاده از خاصیت مماس):
1. **تعریف مماس**:
- به ازای هر نقطه متفاوت از \( T \) که روی خط \( l \) قرار دارد، نقطهای روی دایره در همان راستا قرار نمیگیرد، چرا که اگر چنین نقطهای وجود داشت، خط \( l \) در بیش از یک نقطه به دایره برخورد میکرد که خلاف تعریف خط مماس است.
2. **منطقه نقطه تماس**:
- تنها نقطه مشترک آنها \( T \) است و \( OT \) باید عمود بر \( l \) باشد زیرا فاصله کوتاهترین مسیر از یک نقطه تا خط، مسیری عمود است.
با توجه به این استدلالها، خط بر شعاع در نقطه تماس همیشه عمود است.
