برای نشان دادن اینکه سه خط به طول‌های \(2x+1\)، \(x+2\) و \(x+7\) می‌توانند اضلاع یک مثلث باشند، باید نابرابری مثلث را بررسی کنیم. طبق نابرابری مثلث، مجموع طول هر دو ضلع باید بزرگتر از ضلع سوم باشد. بنابراین باید سه نابرابری زیر برقرار باشد:
1. \(2x + 1 + x + 2 > x + 7\)
2. \(2x + 1 + x + 7 > x + 2\)
3. \(x + 2 + x + 7 > 2x + 1\)
حالا هر کدام را حل می‌کنیم:
**نابرابری 1:**
\[
3x + 3 > x + 7
\]
\[
2x > 4
\]
\[
x > 2
\]
**نابرابری 2:**
\[
3x + 8 > x + 2
\]
\[
2x > -6
\]
\[
x > -3
\]
**نابرابری 3:**
\[
2x + 9 > 2x + 1
\]
\[
9 > 1
\]
اولین و سومین نابرابری محدودیتی برای \(x\) ندارند، اما دومین نابرابری محدودیت \(x > 2\) را نشان می‌دهد.
بنابراین، برای اینکه سه خط به طول‌های داده شده یک مثلث تشکیل دهند، باید \(x > 2\) باشد.
