برای حل معادله \( (4x+1)(x-6)=(2x+3)^2 \) ابتدا هر دو طرف معادله را گسترش میدهیم.
طرف چپ:
\[
(4x+1)(x-6) = 4x \cdot x + 4x \cdot (-6) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-6) = 4x^2 - 24x + x - 6 = 4x^2 - 23x - 6
\]
طرف راست:
\[
(2x+3)^2 = (2x+3)(2x+3) = 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 + 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 4x^2 + 6x + 6x + 9 = 4x^2 + 12x + 9
\]
حالا معادله را به شکل زیر داریم:
\[
4x^2 - 23x - 6 = 4x^2 + 12x + 9
\]
اکنون، \( 4x^2 \) را از دو طرف معادله کم میکنیم:
\[
-23x - 6 = 12x + 9
\]
سپس، \( 12x \) را به سمت چپ معادله منتقل میکنیم و \(-6\) را به سمت راست:
\[
-23x - 12x = 9 + 6
\]
که برابر است با:
\[
-35x = 15
\]
حالا، دو طرف معادله را بر \(-35\) تقسیم میکنیم:
\[
x = \frac{15}{-35} = -\frac{3}{7}
\]
بنابراین، پاسخ نهایی برای \( x \):
\[
x = -\frac{3}{7}
\]
