برای حل سوالات داده شده، به ترتیب به آنها پاسخ میدهیم:
**سوال 405:**
دو معادله داده شدهاند:
\[ y = x^2 + 1 \]
\[ y = 2x - 3 \]
برای پیدا کردن نقاط برخورد، باید دو معادله را باهم برابر قرار دهیم:
\[ x^2 + 1 = 2x - 3 \]
انتقال تمامی جملات به یک سمت:
\[ x^2 - 2x + 4 = 0 \]
برای حل این معادله درجه دوم، از فرمول کلی ریشههای معادله درجه دوم استفاده میکنیم:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
که در اینجا:
\[ a = 1, \, b = -2, \, c = 4 \]
محاسبه دلتا:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = -12 \]
چون دلتا منفی است، این معادله ریشه حقیقی ندارد و منحنیها با هم برخورد نمیکنند.
**سوال 416:**
دو معادله داده شدهاند:
\[ y = -x^2 + 6x - 1 \]
\[ y = x^2 + 4x - 2 \]
برای پیدا کردن نقاط برخورد، معادلات را برابر قرار میدهیم:
\[ -x^2 + 6x - 1 = x^2 + 4x - 2 \]
زمانی که تمامی جملات را به یک سمت انتقال دهیم:
\[ -2x^2 + 2x + 1 = 0 \]
سادهسازی معادله:
\[ x^2 - x - \frac{1}{2} = 0 \]
برای محاسبه ریشهها، از همان فرمول کلی استفاده میکنیم:
\[ a = 1, \, b = -1, \, c = -\frac{1}{2} \]
محاسبه دلتا:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-\frac{1}{2}) = 1 + 2 = 3 \]
که ریشهها به شکل زیر خواهند بود:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \]
بعد از پیدا کردن \( x \)، میتوانید \( y \) را با قرار دادن \( x \) در یکی از معادلات پیدا کنید.
**سوال 427:**
دنباله توابع درجه دوم داده شده:
1) \( y = (x - 2)^2 + 7 \)
2) \( y = -(x - 2)^2 + 6 \)
3) \( y = 4x^2 + 8x + 3 \)
4) \( y = -x^2 + 10x \)
برای پیدا کردن مقدار ماکسیمم یا مینیمم توابع درجه دوم، باید به علامت \( a \) در معادله استاندارد درجه دوم \( y = ax^2 + bx + c \) توجه کنید. اگر \( a \) مثبت باشد، تابع مینیمم دارد و اگر منفی باشد، ماکسیمم.
در گزینه 4) \( y = -x^2 + 10x \):
مقدار \( a \) منفی است، بنابراین این تابع ماکسیمم دارد.
نقطه ماکسیمم:
\( x = -\frac{b}{2a} \)
در اینجا:
\( a = -1 \), \( b = 10 \)
محاسبه مقدار \( x \):
\[ x = \frac{-10}{2 \times (-1)} = 5 \]
محاسبه مقدار \( y \) در \( x = 5 \):
\[ y = -5^2 + 10 \times 5 = -25 + 50 = 25 \]
بنابراین، مقدار ماکسیمم برای تابع چهارم برابر 25 است.
