برای پاسخ به سوال شما، بگذارید ابتدا مفاهیم مربوط به ضرب عدد در بردار و نوشتن یک بردار بر حسب سایر بردارها را توضیح دهیم.
### 1. ضرب عدد در بردار
وقتی که یک عدد (که به آن اسکالر گفته میشود) را در یک بردار ضرب میکنیم، هر کدام از مولفههای آن بردار در آن عدد ضرب میشود. به عنوان مثال، فرض کنید برداری به شکل \(\mathbf{v} = (x, y)\) داشته باشیم و عدد \(k\) را در نظر بگیریم. ضرب عدد \(k\) در بردار \(\mathbf{v}\) به شکل زیر محاسبه میشود:
\[
k \cdot \mathbf{v} = (k \cdot x, k \cdot y)
\]
به عبارت دیگر، بردار جدید به طول \(k\) برابر طول بردار اصلی \(\mathbf{v}\) خواهد بود و به همان جهت حرکت میکند (اگر \(k\) مثبت باشد) یا در خلاف جهت (اگر \(k\) منفی باشد).
### 2. نوشتن بردار \( \mathbf{c} \) بر حسب بردارهای \( \mathbf{a} \) و \( \mathbf{b} \)
برای نوشتن یک بردار \(\mathbf{c}\) بر حسب دو بردار دیگر \(\mathbf{a}\) و \(\mathbf{b}\)، باید نشان دهیم که چگونه میتوانیم از ترکیب خطی این دو بردار به بردار \(\mathbf{c}\) برسیم. به عبارت دیگر، باید یک رابطهی زیر پیدا کنیم:
\[
\mathbf{c} = x \cdot \mathbf{a} + y \cdot \mathbf{b}
\]
که در آن \(x\) و \(y\) مقادیری هستند که با توجه به موقعیت و اندازهی بردار \(\mathbf{c}\) معین میشوند. برای پیدا کردن \(x\) و \(y\)، میتوانیم معادلاتی را برحسب مولفههای \(\mathbf{a}\)، \(\mathbf{b}\) و \(\mathbf{c}\) بنویسیم و آنها را حل کنیم.
به عنوان مثال، اگر \(\mathbf{a} = (a_1, a_2)\)، \(\mathbf{b} = (b_1, b_2)\)، و \(\mathbf{c} = (c_1, c_2)\) باشد، باید دو معادله زیر را داشته باشیم:
\[
c_1 = x \cdot a_1 + y \cdot b_1
\]
\[
c_2 = x \cdot a_2 + y \cdot b_2
\]
با حل این دو معادله میتوانیم مقادیر \(x\) و \(y\) را پیدا کنیم.
این توضیحات میتواند به شما در فهم بهتر این مفاهیم کمک کند. اگر سوال دیگری دارید، خوشحال میشوم کمک کنم!
