برای حل این سوال، باید یک دنباله تکرار شونده از ریشه‌ها را بررسی کنیم. در این سوال دنبال این هستیم که مقدار کلی این دنباله به چه عددی همگرا می‌شود.
عبارت داده شده به صورت زیر است:
\[
\sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt{3 + \cdots}}}
\]
فرض کنیم که این عبارت به مقدار \( x \) همگرا می‌شود. بنابراین داریم:
\[
x = \sqrt{3 + x}
\]
با مربع کردن دو طرف معادله، به دست می‌آوریم:
\[
x^2 = 3 + x
\]
حالا معادله را به صورت یک معادله درجه دو حل می‌کنیم:
\[
x^2 - x - 3 = 0
\]
معادله درجه دو را با استفاده از فرمول حل معادلات درجه دو حل می‌کنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در آن \( a = 1 \)، \( b = -1 \) و \( c = -3 \) است. این اعداد را در فرمول قرار می‌دهیم:
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}
\]
چون \( x \) نمی‌تواند منفی باشد، بنابراین می‌گیریم:
\[
x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}
\]
بنابراین پاسخ صحیح گزینه‌ای است که به این جواب نزدیک باشد.
با توجه به گزینه‌ها:
گزینه (1): \(\sqrt{3}\)
گزینه (2): \(3\)
گزینه (3): \(2\sqrt{3}\)
گزینه (4): \(\sqrt{6} + \sqrt{3} \approx \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)
بنابراین، پاسخ صحیح گزینه (4) است.
