برای اثبات معادله زیر:
\[
\frac{1 + 2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) + \cos(x)
\]
ابتدا صورت کسر را ساده میکنیم:
1. شناسه \( 2\sin(x)\cos(x) \) را به تابع مثلثاتی مزدوج استفاده میکنیم: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). اما در این معادله ما به طور مستقیم از این رابطه استفاده نمیکنیم. بنابراین، با رابطه دیگری کار را ادامه می دهیم.
2. صورت کسر را به شکل زیر در نظر بگیرید:
\[
1 + 2\sin(x)\cos(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 - (\sin^2(x) + \cos^2(x))
\]
چون \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)، داریم:
\[
(\sin(x) + \cos(x))^2 - 1 = \sin(x) + \cos(x)
\]
بنابراین:
\[
\frac{(\sin(x) + \cos(x))^2 - 1}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) + \cos(x)
\]
و در نتیجه معادله به صورت زیر ساده میشود و درست است.
