برای حل معادله \( 2x^2 - 5x - 2 = 0 \) با روش مربع کامل، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
1. ابتدا ضریب \( x^2 \) را به 1 تبدیل می‌کنیم. پس کل معادله را بر 2 تقسیم می‌کنیم:
\[
x^2 - \frac{5}{2}x = 1
\]
2. برای ساختن مربع کامل، از ضریب \( x \) استفاده می‌کنیم. ضریب \( x \) در اینجا \(-\frac{5}{2}\) است. نیمی از آن را پیدا کرده و مربع می‌کنیم:
\[
\left( -\frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}
\]
3. عدد \(\frac{25}{16}\) را به هر دو طرف معادله اضافه می‌کنیم:
\[
x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = 1 + \frac{25}{16}
\]
4. معادله طرف چپ به یک مربع کامل تبدیل می‌شود:
\[
\left( x - \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{41}{16}
\]
5. حالا از طرفین ریشه مربع می‌گیریم:
\[
x - \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{41}}{4}
\]
6. و در نهایت \( x \) را به دست می‌آوریم:
\[
x = \frac{5}{4} \pm \frac{\sqrt{41}}{4}
\]
این یعنی دو جواب برای \( x \) به صورت زیر داریم:
\[
x = \frac{5 + \sqrt{41}}{4}, \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{4}
\]
