برای حل این مسئله، از معادله درجه دوم به شکل استاندارد \( ax^2 + bx + c = 0 \) استفاده می‌کنیم. در این سوال، معادله داده شده به صورت زیر است:
\[ 3x^2 + 7x - 2m + 1 = 0 \]
ریشه‌های معادله‌ی درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
در اینجا، ریشه‌های معادله برابر با \( x = 4 \) و \( x = -1 \) می‌باشند. پس می‌توانیم از روابط ریشه‌ها استفاده کنیم:
1. مجموع ریشه‌ها: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
2. حاصل‌ضرب ریشه‌ها: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
با جایگذاری ریشه‌ها:
\[ 4 + (-1) = -\frac{7}{3} \]
که رضایت‌بخش نیست. این نشان می‌دهد که فاکتور بیشتری در معادله وجود دارد و این به خاطر ثابت اضافی در معادله است.
بنابراین، معادله به صورت دقیق‌تری باید تنظیم شود و به \( c \) توجه شود:
در معادله:
\[ 3x^2 + 7x + (1 - 2m) = 0 \]
مطابق با روابط داده‌شده:
- \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \rightarrow 4 - 1 = -\frac{7}{3} \)
- \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow 4 \times (-1) = \frac{1 - 2m}{3} \)
که حل این رابطه به تعیین پارامتر \( m \) می‌انجامد. پس می‌توانیم به طور مستقیم \( m \) را محاسبه کنیم:
\[ -4 = \frac{1 - 2m}{3} \]
\[ -12 = 1 - 2m \]
\[ -13 = -2m \]
\[ m = \frac{13}{2} \]
پس، مقدار \( m = \frac{13}{2} \) است که معادله‌ی فوق را با ریشه‌های داده شده سازگار می‌کند.
