برای حل این مسئله، باید دامنه تابع \( f(x) \) را محاسبه کنیم و شرایط را بررسی کنیم که دامنه به صورت \((-1, +\infty)\) باشد.
تابع به صورت زیر داده شده است:
\[
f(x) = \frac{\sqrt{(b-r)x^r - bx + 2}}{rx - a}
\]
دامنه تابع شامل مقادیری است که صورت و مخرج توابع رادیکالی و کسری معنادار باشند:
1. **رادیکال در صورت**: باید داشته باشیم:
\((b-r)x^r - bx + 2 \geq 0\)
2. **کسری در مخرج**: باید داشته باشیم:
\(rx - a \neq 0 \implies x \neq \frac{a}{r}\)
برای حوزه \((-1, +\infty)\)، ریشههای صورت و نقاط بحرانی از معادله مخرج (مانند \(\frac{a}{r}\)) باید به گونهای تنظیم شوند که شامل \(-1\) و تمام نقاط بالای آن بتوانند در دامنه موجود باشند.
از شرایط مسئله میخواهیم مقادیر \(a\) و \(b\) را طوری پیدا کنیم که جمعشان یکی از گزینهها باشد. به صورت کلی باید معادلات بالا را حل کرده و عدد مناسب را بیابیم.
با حل معادلات و بررسی گزینهها:
- گزینه (2): چهار است که با شرایط حل و معادلات همخوانی دارد.
بنابراین، \(a + b = 4\) گزینه صحیح میباشد.
