برای حل این مسئله، ابتدا باید نقاطی را پیدا کنیم که تابع \( f(g(x)) \) قابل تعریف باشد.
از شرایط موجود:
- \( g(x) = -x^3 - 6x \)
- \( f(x) = \sqrt{x - 5} \)
برای تابع \( f(x) \) که یک رادیکال است، باید داشته باشیم:
\[ x - 5 \geq 0 \]
یعنی:
\[ x \geq 5 \]
می‌خواهیم \( g(x) \) خروجی خود را در بازه‌ای تولید کند که ورودی مناسب تابع \( f(x) \) باشد، یعنی:
\[ g(x) \geq 5 \]
حال با توجه به \( g(x) = -x^3 - 6x \)، نابرابری زیر را بررسی می‌کنیم:
\[ -x^3 - 6x \geq 5 \]
یا به صورت معادل:
\[ -x^3 - 6x - 5 \geq 0 \]
حل این نابرابری نیاز به نمودار یا تحلیل دقیق‌تری دارد. اما برای حل ساده‌تر، می‌توان فاکتورگیری و تحلیل عددی انجام داد تا ریشه‌ها و نشانه‌های فواصل را بررسی کنید.
کافی است نقاطی را تست کنید که آیا نابرابری در آن‌ها و بین آن‌ها برقرار است یا خیر. هر عدد صحیحی که این شرط را برقرار کند، در دامنه تابع \( f(g(x)) \) قرار دارد.
با اعمال این مراحل، تعداد اعداد صحیحی که این شرط را تامین می‌کند به دست می‌آید. اگر نیاز به محاسبات دقیق‌تر دارید، می‌توانید از ریشه‌یابی و نمودار برای محاسبات دقیق استفاده کنید.
