سه کلاس دهمی و چهارکلاس یازدهمی و پنج کلاس دوازدهمی را به چند طریق می‌توانیم طوری بنشانیم که کلاس یازدهمیا کنار هم باشند و هیچ دو کلاس دهمی کنار هم نباشند؟

برای حل این سوال، باید مراحل زیر را دنبال کنیم: 1. **کلاس‌های یازدهمی را کنار هم قرار دهیم:** ما چهار کلاس یازدهمی داریم که باید کنار هم بنشینند. برای این کار می‌توانیم ابتدا کلاس‌های یازدهمی را به عنوان یک بلوک در نظر بگیریم. پس تعداد بلوک‌ها به این صورت مشخص می‌شود: - 1 بلوک از کلاس‌های یازدهمی - 3 کلاس دهمی - 5 کلاس دوازدهمی بنابراین، ما در مجموع 1 + 3 + 5 = 9 بلوک داریم که شامل 1 بلوک یازدهمی و 8 کلاس دهمی و دوازدهمی است. 2. **چیدمان بلوک‌ها:** ما می‌خواهیم این 9 بلوک را چیدمان کنیم. تعداد چیدمان‌های این 9 بلوک به صورت زیر است: \[ 9! = 362880 \] 3. **ترتیب کلاس‌های یازدهمی:** داخل بلوک کلاس‌های یازدهمی، می‌توانیم این 4 کلاس را به روش‌های مختلف ترتیب دهیم. تعداد ترتیب‌های این 4 کلاس به صورت زیر است: \[ 4! = 24 \] 4. **ترتیب نهایی:** برای پیدا کردن تعداد کل چیدمان‌ها، باید تعداد چیدمان‌های بلوک‌ها را در تعداد ترتیب‌های کلاس‌های یازدهمی ضرب کنیم: \[ 9! \times 4! = 362880 \times 24 = 8709120 \] 5. **ملاحظه دوری کلاس‌های دهمی:** همچنین، برای اطمینان از اینکه هیچ دو کلاس دهمی کنار هم نباشند، می‌توان به این نکته توجه کرد که در چیدمان کلی ما تنها دو نوع کلاس دهمی و دوازدهمی کنار هم قرار دارند و با قرار دادن بلوک یازدهمی بین آنها، این شرط حفظ می‌شود. بنابراین، تعداد راه‌هایی که می‌توان این کلاس‌ها را طوری بنشانیم که کلاس یازدهمی‌ها کنار هم باشند و هیچ دو کلاس دهمی کنار هم نباشند، برابر است با: \[ \text{پاسخ نهایی} = 8709120 \] این عدد نشان‌دهنده تعداد کل راه‌ها برای نشاندن کلاس‌ها با رعایت شرایط داده‌شده است.