برای نشان دادن اینکه در مثلث متساوی‌الساقین، فاصله هر نقطه دلخواه روی نیم‌ساز زاویه رأس از دو سر قاعده برابر است، باید نشان دهیم که \( MB = MC \). ### مراحل اثبات: 1. **فرض مسئله**: - مثلث \( ABC \) متساوی‌الساقین است که \( AB = AC \). - \( M \) نقطه‌ای دلخواه روی نیم‌ساز زاویه \( \angle BAC \) است. 2. **اثبات**: - چون \( M \) روی نیم‌ساز \( \angle BAC \) است، طبق تعریف نیم‌ساز داریم: \[ \angle ABM = \angle ACM \] - همچنین چون \( AB = AC \) (طبق فرض مسئله)، داریم: \[ \triangle ABM \cong \triangle ACM \] برای اثبات هم‌نهشتی دو مثلث می‌توان از حالت \( SAS \) (ضلع، زاویه، ضلع) استفاده کرد. \( AM \) ضلع مشترک، \( \angle ABM = \angle ACM \) زاویه، و \( AB = AC \) دو ضلع دیگر هستند. 3. **نتیجه‌گیری**: - از هم‌نهشتی دو مثلث \( \triangle ABM \equiv \triangle ACM \) نتیجه