برای ثابت کردن اینکه در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع وارد بر قاعده، هم میانه است و هم نیمساز زاویه رأسی:
فرض کنید مثلث \( \triangle ABC \) متساوی الساقین است با \( AB = AC \). میخواهیم ثابت کنیم که ارتفاع وارد بر قاعده \( BC \) هم میانه است و هم نیمساز زاویه \( \angle BAC \).
1. **ارتفاع**:
فرض کنیم \( AH \) ارتفاع وارد بر \( BC \) است. به همین دلیل \( AH \) بر \( BC \) عمود است و \( BH = HC \).
2. **میانه**:
چون \( H \) وسط \( BC \) است (یعنی \( BH = HC \))، پس \( AH \) میانه است.
3. **نیمساز زاویه**:
چون \( AB = AC \) و \( BH = HC \)، دو مثلث \( \triangle ABH \) و \( \triangle AHC \) با یکدیگر همنهشت هستند (شرایط همنهشتی: ض.ض.ض). به همین دلیل، زاویههای \( \angle BAH = \angle CAH \) هستند. لذا \( AH \) نیمساز زاویه \( \angle BAC \) است.
بنابراین \( AH \) هم ارتفاع، هم میانه و هم نیمساز زا
