برای اثبات این که "در هر مثلث متساوی الساقین ارتفاع وارد بر قاعده، قاعده را نصف می‌کند"، می‌توان از مفهوم تقارن در مثلث متساوی الساقین و قضیه فیثاغورس استفاده کرد.
1. **رسم ارتفاع**: فرض کنید مثلث \( ABC \) مثلث متساوی الساقین باشد که \( AB = AC \) و \( AD \) ارتفاعی باشد که بر قاعده \( BC \) وارد شده است.
2. **تقارن مثلث متساوی الساقین**: به دلیل متساوی الساقین بودن مثلث، نقطه \( D \) وسط \( BC \) خواهد بود. بنابراین \( BD = DC \).
3. **استفاده از قضیه فیثاغورس**: از آنجا که \( AD \) ارتفاع مثلث است، زاویه‌های \( \angle ADB \) و \( \angle ADC \) هر دو قائم هستند. پس با استفاده از قضیه فیثاغورس برای مثلث‌های قائم الزاویه \( ADB \) و \( ADC \) داریم:
- در مثلث \( ADB \):
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
- در مثلث \( ADC \):
\[
AC^2 = AD^2 + DC^2
\]
از آنجا که \( AB = AC \) (به دلیل متساوی الساقین بودن)، داریم \( BD = DC \).
این ثابت می‌کند که در مثلث متساوی الساقین، ارتفاع وارد بر قاعده، قاعده را نصف می‌کند.
