برای حل این مسئله، ابتدا ارتباط بین تانژانت و کتانژانت و سینوس و کسینوس را بررسی میکنیم.
فرمولهای اولیه:
- \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
- \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)
با توجه به شرط مسئله داریم:
\[
\tan x + \cot x = 5
\]
بنابراین:
\[
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 5
\]
این کسرها را مشترکالمخرج میکنیم:
\[
\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 5
\]
با توجه به هویت معروف \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)، داریم:
\[
\frac{1}{\sin x \cos x} = 5
\]
بنابراین:
\[
\sin x \cos x = \frac{1}{5}
\]
برای به دست آوردن \(|\sin x - \cos x|\) میتوانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:
\[
(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x
\]
با توجه به \(\sin^
