برای اثبات اینکه قطرهای متوازیالأضلاع یکدیگر را نصف میکنند، باید نشان دهیم که نقطه تلاقی قطرها (O) هر قطر را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند. در متوازیالأضلاع ABCD، طبق فرض داریم \(OA = OC\) و \(OB = OD\).
برای اثبات، میتوان با استفاده از خواص هندسی زیر پیش رفت:
1. در متوازیالأضلاع، ضلعهای روبهرو با هم برابرند: \(AB = CD\) و \(AD = BC\).
2. مثلثهای \(\triangle AOD\) و \(\triangle COB\) یکدیگر را به دو قسمت مساوی تقسیم میکنند (چون ضلعها متقابل برابر و قطرها در متوازیالأضلاع یکدیگر را قطع کردهاند).
**اثبات رسمی:**
- از اینکه \(AB \parallel CD\) و \(AD \parallel BC\) و زاویههای متقابل داخلی برابرند. از اینجا میتوان متوجه شد که \(\triangle AOD \cong \triangle COB\) به خاطر قضیهی زاویه-ضلع-زاویه (ASA).
- بنابراین، \(OA = OC\) و \(OB = OD\).
نتیجهگیری: O مرکز تقاطع قطرها است و هر قطر، قطر دیگر را نصف میکند.
