الف)
داریم:
\[ a + b = 7 \]
\[ ab = 5 \]
ما میخواهیم \( a^3 + b^3 \) را پیدا کنیم. فرمول زیر میتواند به ما کمک کند:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
ابتدا \( a^2 - ab + b^2 \) را پیدا میکنیم:
\[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 5 = 49 - 10 = 39 \]
پس:
\[ a^2 - ab + b^2 = a^2 + b^2 - ab = 39 - 5 = 34 \]
اکنون:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 7 \times 34 = 238 \]
بنابراین، \( a^3 + b^3 = 238 \).
ب)
داریم:
\[ a + b = 10 \]
\[ a^3 + b^3 = 70 \]
میخواهیم \( ab \) را پیدا کنیم. از فرمول زیر استفاده میکنیم:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
جایگذاری فرمولی برای \( a^2 - ab + b^2 \):
\[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 10^2 - 2ab \]
بنابراین:
\[ a^3 + b^3 = 70 = 10(100 - 3ab) \]
معادله را حل میکنیم:
\[ 70 = 10 \times 100 - 30ab \]
\[ 70 = 1000 - 30ab \]
\[ 30ab = 930 \]
\[ ab = \frac{930}{30} = 31 \]
بنابراین، \( ab = 31 \).
