### سوال اول:
برای اینکه خط و سهمی یکدیگر را قطع نکنند باید معادله به فرم \( ax^2 + bx + c = 0 \) حاصل از تفاضل آنها، هیچ ریشه حقیقی نداشته باشد. این به معنی است که دلتا یا همان \( \Delta = b^2 - 4ac \) باید منفی باشد.
تابعهای داده شده:
\[ y = 2x^2 + x + m \]
\[ y = 3x + 1 \]
تفاضل بین آنها:
\[ 2x^2 + x + m - (3x + 1) = 2x^2 - 2x + (m - 1) \]
حالا باید دلتا محاسبه شود:
- \( a = 2 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = m - 1 \)
دلتا:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 2 \times (m - 1) \]
\[ \Delta = 4 - 8(m - 1) \]
\[ \Delta = 4 - 8m + 8 \]
\[ \Delta = 12 - 8m \]
برای عدم وجود ریشه حقیقی:
\[ 12 - 8m < 0 \]
\[ 12 < 8m \]
\[ \frac{12}{8} < m \]
\[ \frac{3}{2} < m \]
### سوال دوم:
برای اینکه خط بر سهمی مماس باشد باید دلتا برابر صفر شود.
تابعهای داده شده:
\[ y = mx^2 - 3x - 1 \]
\[ y = x^2 + 4x \]
تفاضل بین آنها:
\[ mx^2 - 3x - 1 - (x^2 + 4x) = (m-1)x^2 - 7x - 1 \]
حالا باید دلتا محاسبه شود:
- \( a = m-1 \)
- \( b = -7 \)
- \( c = -1 \)
دلتا:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times (m-1) \times (-1) \]
\[ \Delta = 49 + 4(m-1) \]
\[ \Delta = 49 + 4m - 4 \]
\[ \Delta = 4m + 45 \]
برای مماس بودن:
\[ 4m + 45 = 0 \]
\[ 4m = -45 \]
\[ m = -\frac{45}{4} \]
بنابراین پاسخها به ترتیب:
1. \( m > \frac{3}{2} \)
2. \( m = -\frac{45}{4} \)
