برای حل سوال، ابتدا به معادله‌ی داده شده توجه می‌کنیم:
\( x^2 - 5x + 2 = 0 \)
ریشه‌های این معادله \( \alpha \) و \( \beta \) هستند. براساس روابط بین ضرایب و ریشه‌های معادله درجه دوم، می‌دانیم:
\[
\alpha + \beta = 5 \quad \text{و} \quad \alpha \beta = 2
\]
حال، مورد خواسته شده را بررسی می‌کنیم:
\[
\frac{4\alpha + \beta^5}{5\beta^2}
\]
ابتدا \( \alpha \) و \( \beta \) را با استفاده از فرمول‌های ریشه درجه دوم محاسبه می‌کنیم:
\[
\alpha, \beta = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
به طور تقریبی اگر \( \alpha = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \) و \( \beta = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \) در نظر بگیریم، محاسبات روی این مقادیر کمی پیچیده است. اما با استفاده از تقریبات عددی و روابط اولیه به سرعت به جواب می‌رسیم.
بعد از محاسبات می‌توان دریافت که نزدیک‌ترین گزینه عددی به مقدار اصلی، گزینه (2) یعنی 20 است.
