الف) به منظور حل معادله:
\[
\frac{2}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{2}{x^2-9}
\]
ابتدا متوجه میشویم که \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\). بنابراین، برای برطرف کردن کسرها، صورت مشترک مخرج را در نظر میگیریم و کسرها را برابر میکنیم:
\[
\frac{2(x+3) + 2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{(x-3)(x+3)}
\]
سادهسازی صورت معادله:
\(2(x+3) + 2(x-3) = 2x + 6 + 2x - 6 = 4x\).
با جایگذاری داریم:
\[
\frac{4x}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{(x-3)(x+3)}
\]
صورتهای کسر را ساده میکنیم:
\[
4x = 2
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]
این مقدار باید در بازه مجاز \((x \neq \pm 3)\) بررسی شود. پس \(x = \frac{1}{2}\) جواب معتبر است.
ب) برای حل معادله دوم:
\[
x - \sqrt{x-3} = 6
\]
ابتدا ریشه را ایزوله میکنیم:
\[
\sqrt{x-3} = x - 6
\]
هر دو طرف را توان دو میکنیم:
\[
x-3 = (x-6)^2
\]
گسترش توان:
\[
x-3 = x^2 - 12x + 36
\]
معادله را مرتب میکنیم:
\[
0 = x^2 - 13x + 39
\]
با استفاده از فرمول حل معادله درجه دو (\(ax^2 + bx + c = 0\)):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا \(a=1\), \(b=-13\), \(c=39\):
\[
x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 156}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{13}}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{13 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{13 - \sqrt{13}}{2}
\]
هر دو مقدار را چک میکنیم که \(x \geq 3\) باشد تا جواب معتبری برای ریشهگیری باشد.
