برای حل این معادلات نامعادله مطلق، هر کدام را به صورت جداگانه بررسی می‌کنیم:
### الف) \( |4x + 1| > 3 \)
روش حل:
1. حالت اول: \( 4x + 1 > 3 \)
\[
4x > 2 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{2}
\]
2. حالت دوم: \( 4x + 1 < -3 \)
\[
4x < -4 \quad \Rightarrow \quad x < -1
\]
**پاسخ: \( x < -1 \) یا \( x > \frac{1}{2} \)**
### ب) \( |3x - 1| \leq 4 \)
روش حل:
1. حالت اصلی: \(-4 \leq 3x - 1 \leq 4\)
دو نامعادله:
- \(3x - 1 \geq -4\)
\[
3x \geq -3 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1
\]
- \(3x - 1 \leq 4\)
\[
3x \leq 5 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{5}{3}
\]
**پاسخ: \(-1 \leq x \leq \frac{5}{3}\)**
### ج) \(\frac{|3x - 7|}{2} < 2\)
روش حل:
1. حالت اصلی: \(|3x - 7| < 4\)
دو نامعادله:
- \(3x - 7 < 4\)
\[
3x < 11 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{11}{3}
\]
- \(3x - 7 > -4\)
\[
3x > 3 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\]
**پاسخ: \(1 < x < \frac{11}{3}\)**
### د) \( |3x + 1| + 2 \leq 0 \)
با توجه به اینکه یک مقدار مطلق همواره غیر منفی است و با افزودن \(2\) به آن، حداقل مقدار آن \(2\) می‌شود، بنابراین:
\[
|3x + 1| + 2 \geq 2
\]
این نابرابری همواره برقرار نیست و مجموعه جواب تهی است.
**پاسخ: هیچ پاسخی وجود ندارد (مجموعه تهی).**
می‌توانید جواب‌های بالا را روی محور نشان دهید تا محدوده مقادیر \(x\) مشخص شود.
