برای حل این مسئله، باید تساوی \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\) را اثبات کنیم.
شروع میکنیم به بسط دادن \((a+b+c)^2\):
\[
(a+b+c)^2 = (a+b+c) \times (a+b+c)
\]
ابتدا عبارات را ساده میکنیم:
\[
(a+b+c) \times (a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)
\]
این عبارت را باز میکنیم:
\[
= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2
\]
حالا عبارات مشابه را با هم جمع میکنیم:
1. \( a^2 \)
2. \( b^2 \)
3. \( c^2 \)
4. جمع \( ab + ba = 2ab \)
5. جمع \( ac + ca = 2ac \)
6. جمع \( bc + cb = 2bc \)
بنابراین، تساوی اثبات میشود:
\[
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
\]
به این ترتیب، رابطه مورد نظر ثابت شد.
