برای حل این مسئله، از اصل بقای انرژی استفاده میکنیم. انرژی کل ابتدا و انتها باید برابر باشد.
ابتدا، انرژی جنبشی و پتانسیل گرانشی را محاسبه میکنیم:
1. انرژی جنبشی اولیه:
\[
E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \, \text{kg} \times (3 \, \text{m/s})^2 = 9 \, \text{J}
\]
2. انرژی پتانسیل گرانشی اولیه:
\[
E_p = mgh = 2 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times 2 \, \text{m} = 40 \, \text{J}
\]
بنابراین کل انرژی اولیه:
\[
E_{\text{initial}} = E_k + E_p = 9 \, \text{J} + 40 \, \text{J} = 49 \, \text{J}
\]
انرژی انتهایی نیز انرژی ذخیرهشده در فنر است:
\[
E_{\text{spring}} = \frac{1}{2} k x^2 = 46 \, \text{J}
\]
کل انرژی انتهایی باید برابر با انرژی اولیه باشد:
\[
E_{\text{initial}} - E_{\text{spring}} = 49 \, \text{J} - 46 \, \text{J} = 3 \, \text{J}
\]
این انرژی برابر با انرژی پتانسیل در تراکم فنر است:
از اینجا میتوانیم طول تراکم فنر (\(x\)) را بدست آوریم:
\[
\frac{1}{2} k x^2 = 3 \, \text{J}
\]
حل برای \(x\) به صورت زیر خواهد بود:
با فرض مساوی بودن نیروهای وارد بر آن، نوسانات فنر ناشی از نیروی گرانشی نادیده گرفته شدهاند.
گزینههای سوال شامل مقادیر مختلفی است که با محاسبه دقیقتر فیزیکی و هندسی ممکن است به گزینه صحیح برسیم.
