برای حل این مسأله از مفهوم انرژی و کار استفاده میکنیم. وقتی جعبه از نقطه \( A \) به \( B \) حرکت میکند، انرژی پتانسیل گرانشی کاهش مییابد و این کاهش انرژی باعث افزایش سرعت جعبه میشود.
ابتدا تغییرات انرژی پتانسیل گرانشی را محاسبه میکنیم:
\[ \Delta U = mgh \]
که در اینجا، \( m \) جرم جعبه، \( g \) شتاب گرانش، و \( h \) ارتفاع تغییر یافته است. ارتفاع تغییر یافته \( h \) میتواند با استفاده از طول سطح شیبدار و زاویه \( 30^\circ \) بهصورت زیر محاسبه شود:
\[ h = L \sin 30^\circ \]
با توجه به اینکه \( AB = L = 8 \space m \)، داریم:
\[ h = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \space m \]
حال، تغییر انرژی پتانسیل:
\[ \Delta U = m \times g \times 4 \]
از طرفی، با توجه به پایستگی انرژی مکانیکی، تغییر انرژی پتانسیل برابر با افزایش انرژی جنبشی است:
\[ \Delta K = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv_0^2 \]
که در اینجا \( v_0 \) سرعت اولیه است و \( v \) سرعت نهایی.
حال با مساوی قرار دادن تغییرات انرژی داریم:
\[ m \times g \times 4 = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mv_0^2 \]
با سادهسازی معادله:
\[ 8mg = \frac{1}{2} m(v^2 - v_0^2) \]
که میتوان با حذف \( m \) از دو طرف و ضرب دو طرف در 2، به این نتیجه رسید:
\[ 16g = v^2 - v_0^2 \]
در نهایت، سرعت نهایی \( v \) را میتوان با استفاده از این معادله محاسبه کرد:
\[ v = \sqrt{v_0^2 + 16g} \]
با جایگذاری مقادیر برای \( v_0 \) و \( g \) (که معمولاً \( 9.8 \, m/s^2 \) است)، میتوان به پاسخ نهایی رسید.
