ثابت کنید در هر مثلث متساوی اضلاع، نیمساز میانه هم هست

شرمنده بلد نیستم

برای اثبات اینکه در هر مثلث متساوی‌الاضلاع، نیم‌ساز، میانه و ارتفاع یکسان هستند، از ویژگی‌های هندسی مثلث استفاده می‌کنیم. فرض: مثلث ABC را در نظر بگیرید که در آن AB = AC = BC. اثبات: 1. نقطه D: نقطه D را به‌عنوان نقطه میانه‌ی ضلع BC در نظر می‌گیریم. بنابراین، BD = DC. 2. نیم‌ساز زاویه A: نیم‌ساز زاویه A را در نظر بگیرید که BD را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. به این ترتیب، زاویه ABD = زاویه ACD. 3. مثلث‌های هم‌قد: در مثلث‌های ABD و ACD: - AB = AC (چون مثلث متساوی‌الاضلاع است) - BD = DC (چون D نقطه میانه است) - زاویه ABD = زاویه ACD (چون BD نیم‌ساز زاویه A است) بنابراین، طبق قاعده مثلث (مثلث‌های هم‌قد)، می‌توان نتیجه گرفت که: مثلث ABD ≅ مثلث ACD. 4. نتیجه‌گیری: از برابری مثلث‌ها نتیجه می‌گیریم که: - AD = AD (مشترک) - زاویه ADB = زاویه ADC (چون مثلث‌ها هم‌قد هستند) این نشان می‌دهد که AD عمود بر BC است و در نتیجه، AD هم میانه و هم نیم‌ساز است. نتیجه نهایی: بنابراین، در هر مثلث متساوی‌الاضلاع، نیم‌ساز، میانه و ارتفاع از یک رأس به ضلع مقابل یکسان هستند.