برای یافتن تعداد اعضای \( A \)، ابتدا فرض کنید مجموعه \( A \) شامل \( n \) عضو است. تعداد زیرمجموعههای \( A \) به صورت \( 2^n \) محاسبه میشود. طبق سوال، مجموعه \( A \) دقیقا 3 زیرمجموعه دارد که هر دو عضو آنها دارای خاصیت خاصی هستند، بنابراین:
1. زیرمجموعههای دو عضوی: تعداد ترکیبهای دو عضویی از \( n \) عضو برابر است با \( \binom{n}{2} \) که باید مساوی 3 شود.
2. حل معادله:
\[
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 3
\]
با ضرب دو طرف در 2، داریم:
\[
n(n-1) = 6
\]
بنابراین:
\( n^2 - n - 6 = 0 \)
حال این معادله درجه دوم را حل میکنیم:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}
\]
پس دو جواب ممکن داریم: \( n = 3 \) یا \( n = -2 \).
چون تعداد اعضا نمیتواند منفی باشد، پس \( n = 3 \).
بنابراین، \( n(A) = 3 \) است.
