برای حل معادله \(2x^2 + x - 3 = 0\) از سه روش مختلف:
### ۱. روش تجزیه
هدف این است که معادله را به صورت ضرب دو عامل خطی بنویسیم.
1. ابتدا عدد اول و سوم را در یکدیگر ضرب میکنیم: \(2 \times (-3) = -6\).
2. عدد وسط معادله یعنی 1 را در نظر میگیریم.
3. باید دو عدد پیدا کنیم که حاصلضربشان \(-6\) و جمعشان 1 باشد. این دو عدد \(3\) و \(-2\) هستند.
4. معادله را به صورت زیر تجزیه میکنیم:
\[
2x^2 + 3x - 2x - 3 = 0
\]
5. دو جفت جمله اول و دوم را گروهبندی و فاکتورگیری میکنیم:
\[
x(2x + 3) - 1(2x + 3) = 0
\]
6. اکنون \( (2x + 3) \) مشترک است:
\[
(2x + 3)(x - 1) = 0
\]
7. حالا برای هر عامل این معادله را جداگانه مساوی صفر قرار میدهیم:
\[
2x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}
\]
\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
### ۲. روش مربع کامل کردن
هدف این است که معادله مربع کامل شود.
1. ضریب \(x^2\) را یک میکنیم:
\[
x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}
\]
2. نصف ضریب \(x\)، \( \left(\frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}\right) \) را میگیریم و مربع آن را اضافه و کم میکنیم:
\[
x^2 + \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{3}{2} + \left(\frac{1}{4}\right)^2
\]
3. حالا میتوانیم معادله را به صورت مربع کامل بنویسیم:
\[
\left( x + \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{16}
\]
4. سمت راست را سادهسازی میکنیم:
\[
\frac{24}{16} + \frac{1}{16} = \frac{25}{16}
\]
5. معادله را با جذر گرفتن حل میکنیم:
\[
x + \frac{1}{4} = \pm \frac{5}{4}
\]
6. حل برای \(x\):
\[
x = \frac{-1}{4} + \frac{5}{4} = 1 \quad \text{و} \quad x = \frac{-1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{2}
\]
### ۳. روش کلی (فرمول عمومی)
فرمول عمومی معادله درجه دوم \(ax^2 + bx + c = 0\) به شکل زیر است:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در این معادله: \(a = 2\)، \(b = 1\)، \(c = -3\).
1. مقادیر \(b^2 - 4ac\) را حساب میکنیم:
\[
1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 1 + 24 = 25
\]
2. ریشهها را به دست میآوریم:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}
\]
3. دو مقادیر محاسبه میکنیم:
\[
x = \frac{4}{4} = 1 \quad \text{و} \quad x = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
