حل کن تاج بگیر؟

برای حل معادله \(2x^2 + x - 3 = 0\) از سه روش مختلف: ### ۱. روش تجزیه هدف این است که معادله را به صورت ضرب دو عامل خطی بنویسیم. 1. ابتدا عدد اول و سوم را در یکدیگر ضرب می‌کنیم: \(2 \times (-3) = -6\). 2. عدد وسط معادله یعنی 1 را در نظر می‌گیریم. 3. باید دو عدد پیدا کنیم که حاصلضربشان \(-6\) و جمعشان 1 باشد. این دو عدد \(3\) و \(-2\) هستند. 4. معادله را به صورت زیر تجزیه می‌کنیم: \[ 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 0 \] 5. دو جفت جمله اول و دوم را گروه‌بندی و فاکتورگیری می‌کنیم: \[ x(2x + 3) - 1(2x + 3) = 0 \] 6. اکنون \( (2x + 3) \) مشترک است: \[ (2x + 3)(x - 1) = 0 \] 7. حالا برای هر عامل این معادله را جداگانه مساوی صفر قرار می‌دهیم: \[ 2x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2} \] \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] ### ۲. روش مربع کامل کردن هدف این است که معادله مربع کامل شود. 1. ضریب \(x^2\) را یک می‌کنیم: \[ x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2} \] 2. نصف ضریب \(x\)، \( \left(\frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}\right) \) را می‌گیریم و مربع آن را اضافه و کم می‌کنیم: \[ x^2 + \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{3}{2} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 \] 3. حالا می‌توانیم معادله را به صورت مربع کامل بنویسیم: \[ \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{16} \] 4. سمت راست را ساده‌سازی می‌کنیم: \[ \frac{24}{16} + \frac{1}{16} = \frac{25}{16} \] 5. معادله را با جذر گرفتن حل می‌کنیم: \[ x + \frac{1}{4} = \pm \frac{5}{4} \] 6. حل برای \(x\): \[ x = \frac{-1}{4} + \frac{5}{4} = 1 \quad \text{و} \quad x = \frac{-1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{2} \] ### ۳. روش کلی (فرمول عمومی) فرمول عمومی معادله درجه دوم \(ax^2 + bx + c = 0\) به شکل زیر است: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] در این معادله: \(a = 2\)، \(b = 1\)، \(c = -3\). 1. مقادیر \(b^2 - 4ac\) را حساب می‌کنیم: \[ 1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 1 + 24 = 25 \] 2. ریشه‌ها را به دست می‌آوریم: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \] 3. دو مقادیر محاسبه می‌کنیم: \[ x = \frac{4}{4} = 1 \quad \text{و} \quad x = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}

تاج یادت نره گلللللللل👊💌