برای حل عبارت $$ \frac{3}{\sqrt{2}} + \sqrt{90} + \sqrt{72} - \sqrt{18} $$ ابتدا باید ریشههای مربعی را ساده کنیم.
1. **سادهسازی ریشهها**:
- برای $$ \sqrt{90} $$:
\[
\sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = \sqrt{9} \times \sqrt{10} = 3\sqrt{10}
\]
- برای $$ \sqrt{72} $$:
\[
\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}
\]
- برای $$ \sqrt{18} $$:
\[
\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}
\]
2. **جایگزینی مقادیر سادهشده در عبارت اصلی**:
پس از سادهسازی،
\[
3 / \sqrt{2} + 3\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2}
\]
حالا میتوانیم عبارت را بازنویسی کنیم:
\[
3 / \sqrt{2} + 3\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 3 / \sqrt{2} + 3\sqrt{10} + (6 - 3)\sqrt{2}
\]
\[
= 3 / \sqrt{2} + 3\sqrt{10} + 3\sqrt{2}
\]
3. **جمع کردن عبارتها**:
اکنون عبارت را به این شکل ساده کردهایم:
\[
3 / \sqrt{2} + 3\sqrt{10} + 3\sqrt{2}
\]
میتوان 3 را به عنوان فاکتور مشترک خارج کنیم:
\[
= 3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \right)
\]
بنابراین پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:
\[
\boxed{3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \right)}
\]
