برای حل این سوال، ابتدا باید ریشه‌های معادله درجه دوم را بیابیم. معادله داده شده به صورت زیر است:
\[ 2x^2 - 6x + \frac{1}{2} = 0 \]
این معادله را می‌توان به صورت استاندارد \( ax^2 + bx + c = 0 \) نوشت که در آن \( a = 2 \)، \( b = -6 \)، و \( c = \frac{1}{2} \) است.
برای پیدا کردن ریشه‌ها از فرمول ریشه‌های معادله درجه دوم استفاده می‌کنیم:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
ابتدا مقدار \( b^2 - 4ac \) را محاسبه می‌کنیم:
\[ b^2 = (-6)^2 = 36 \]
\[ 4ac = 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 4 \]
\[ b^2 - 4ac = 36 - 4 = 32 \]
حالا می‌توانیم ریشه‌ها را محاسبه کنیم:
\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{32}}{2 \times 2} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{4} \]
\[ x = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{4} \]
\[ x = \frac{6}{4} \pm \frac{4\sqrt{2}}{4} \]
\[ x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{2} \]
بنابراین، ریشه‌ها عبارتند از:
\[ \alpha = \frac{3}{2} + \sqrt{2} \]
\[ \beta = \frac{3}{2} - \sqrt{2} \]
اکنون می‌توانیم هر یک از بخش‌های سوال را محاسبه کنیم:
**الف) \( \alpha \beta \) :** استفاده از فرمول حاصل‌ضرب ریشه‌ها:
\[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \]
**ب) \( \alpha^2 + \beta^2 \) :** استفاده از هویت \((\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta\)
\[ \alpha + \beta = \frac{3}{2} + \sqrt{2} + \frac{3}{2} - \sqrt{2} = 3 \]
از این رابطه استفاده می‌کنیم:
\[ (\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta \]
\[ 3^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2 \times \frac{1}{4} \]
\[ 9 = \alpha^2 + \beta^2 + \frac{1}{2} \]
\[ \alpha^2 + \beta^2 = 9 - \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \]
**ج) \( (\alpha + \beta)^2 \) :**
با توجه به محاسبات قبلی:
\[ (\alpha + \beta)^2 = 9 \]
بنابراین جواب‌ها به ترتیب:
الف) \( \frac{1}{4} \)
ب) \( \frac{17}{2} \)
ج) \( 9 \)
