برای حل این سوال ابتدا به بررسی دنباله‌های داده شده می‌پردازیم:
1. \( a_n = (-1)^n \cdot n \)
2. \( b_n = \frac{n}{n + 1} \)
3. \( c_n = 2n + 1 \)
حال باید مقدار \( a_n + b_n - c_n \) را محاسبه کنیم.
با استفاده از تعریف داده‌شده برای هر دنباله:
\[ a_n + b_n - c_n = (-1)^n \cdot n + \frac{n}{n+1} - (2n + 1) \]
برای محاسبه دقیق، دو حالت برای \( n \) داريم، زوج و فرد:
**1. \( n \) زوج باشد:**
در این حالت \( (-1)^n = 1 \):
\[ a_n = n \]
\[ b_n = \frac{n}{n+1} \]
\[ c_n = 2n + 1 \]
پس:
\[ a_n + b_n - c_n = n + \frac{n}{n+1} - (2n + 1) \]
\[ = n + \frac{n}{n+1} - 2n - 1 \]
\[ = -n - 1 + \frac{n}{n+1} \]
**2. \( n \) فرد باشد:**
در این حالت \( (-1)^n = -1 \):
\[ a_n = -n \]
\[ b_n = \frac{n}{n+1} \]
\[ c_n = 2n + 1 \]
پس:
\[ a_n + b_n - c_n = -n + \frac{n}{n+1} - (2n + 1) \]
\[ = -n + \frac{n}{n+1} - 2n - 1 \]
\[ = -3n - 1 + \frac{n}{n+1} \]
بنابراین دو حالت مختلف برای محاسبه نتایج نهایی بر اساس زوج و فرد بودن \( n \) داریم.
