در مثلث \( ABC \) که زاویه \( A \) برابر ۹۰ درجه است، باید محیط مثلث را با توجه به اینکه \( \sin \angle B = \frac{3}{5} \) پیدا کنیم.
چون \( \angle A = 90^\circ \)، مثلث \( ABC \) قائمالزاویه است و \( \angle B \) یکی از زوایای آن است.
1. از تعریف سینوس در مثلث قائمالزاویه داریم:
\[
\sin \angle B = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}
\]
یعنی:
\[
\frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}
\]
2. اگر فرض کنیم \( AC = 5k \) (طول وتر)، آنگاه:
\[
BC = 3k
\]
3. حالا از قضیه فیثاغورس در مثلث \( ABC \) داریم:
\[
AB^2 + BC^2 = AC^2
\]
\[
AB^2 + (3k)^2 = (5k)^2
\]
\[
AB^2 + 9k^2 = 25k^2
\]
\[
AB^2 = 16k^2
\]
\[
AB = 4k
\]
4. حالا محیط مثلث را حساب میکنیم:
\[
\text{محیط} = AB + BC + AC = 4k + 3k + 5k = 12k
\]
پس محیط مثلث \( ABC \) برابر \( 12k \) است.
