برای اثبات اینکه در هر لوزی، قطرها بر هم عمودند و یکدیگر را نصف میکنند، از ویژگیهای هندسی لوزی استفاده میکنیم.
تعریف لوزی:
لوزی یک چهارضلعی است که همه اضلاع آن برابرند.
اثبات:
1. نقطه وسط:
فرض کنید ABCD یک لوزی باشد. قطرهای AC و BD را در نظر میگیریم و میخواهیم نشان دهیم که این دو قطر در نقطه E با هم برخورد میکنند و این نقطه وسط هر دو قطر است.
2. مثلثهای همپایه:
از آنجا که AB = BC = CD = DA (به دلیل ویژگیهای لوزی)، مثلثهای ABE و CDE و همچنین مثلثهای ADE و CBE همپایه و همقد هستند.
3. مثلثهای همقد:
در مثلثهای ABE و CDE:
- AE = CE (چون E نقطه تقاطع قطرها است)
- BE = DE (چون E نقطه تقاطع قطرها است)
از آنجا که دو مثلث ABE و CDE همپایه و همقد هستند، میتوان نتیجه گرفت که:
- مثلث ABE ≅ مثلث CDE
4. زاویههای برابر:
از برابری مثلثها نتیجه میگیریم که:
- زاویه ABE = زاویه CDE
- زاویه AEB = زاویه CED
5. زاویههای عمود:
از آنجا که مجموع زاویههای داخلی یک چهارضلعی برابر ۳۶۰ درجه است و زاویههای ABE و CDE برابرند، میتوان نتیجه گرفت که:
- زاویه AEB + زاویه CED = 90 درجه
این نشان میدهد که قطرها بر هم عمودند.
6. نصف کردن قطرها:
از برابری مثلثهای ABE و CDE به این نتیجه میرسیم که:
- AE = CE و BE = DE
بنابراین، قطرها یکدیگر را نصف میکنند.
نتیجهگیری:
در هر لوزی، قطرها بر هم عمودند و یکدیگر را نصف میکنند. این نتیجهگیری بر اساس ویژگیهای هندسی لوزی و برابری مثلثها به دست آمده است.
