برای حل معادله \(x^4 + x^3 + x^2 + x = 0\)، ابتدا سعی کنیم چند جملهای را تجزیه کنیم:
ابتدا میتوانیم از فاکتورگیری مشترک استفاده کنیم. تمام جملات شامل \(x\) هستند، بنابراین میتوانیم \(x\) را از آنها فاکتور بگیریم:
\[
x(x^3 + x^2 + x + 1) = 0
\]
حال دو حالت داریم:
1. \(x = 0\): این یکی از جوابهای معادله است.
2. برای یافتن بقیه جوابها باید معادله \(x^3 + x^2 + x + 1 = 0\) را حل کنیم.
برای حل این معادله درجه سه، میتوانیم به دنبال ریشههای محتمل بگردیم. با استفاده از روش آزمون و خطا یا استفاده از قضیه ریشههای گویا (اگر ضریبها صحیح باشد)، میتوانیم به ریشهها دست پیدا کنیم. در این حالت:
- با امتحان کردن \(x = -1\)، مشاهده میکنیم که \((-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 0\)
پس \(x = -1\) یکی از ریشهها است.
میتوانیم از تقسیم چندجملهای برای تجزیهی \(x^3 + x^2 + x + 1\) به صورت \((x + 1)(x^2 + ax + b)\) استفاده کنیم.
پس از انجام تقسیم، نتیجه:
\[
x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 0x + 1)
\]
اکنون، \(x^2 + 1 = 0\) را بررسی میکنیم:
\[
x^2 = -1
\]
این معادله هیچ جواب حقیقی ندارد، چون اعداد حقیقی نمیتوانند مربع عددی منفی باشند.
بنابراین، جوابهای حقیقی معادله اصلی، فقط \(x = 0\) و \(x = -1\) هستند.
بنابراین، جمع جوابهای حقیقی معادله \(0 + (-1) = -1\) است.
