نامعادله داده شده به شکل زیر است:
\[
\frac{|x|}{x - 6} > 1
\]
برای حل این نامعادله، نیاز است که حالات مختلف \( x \) را بررسی کنیم:
1. **حالت اول: \( x > 6 \):**
- در این حالت \( |x| = x \)، بنابراین نامعادله به شکل زیر میشود:
\[
\frac{x}{x - 6} > 1
\]
- با سادهسازی:
\[
x > x - 6
\]
- که این شرط همیشه برقرار است.
- اما توجه داریم که \( x \neq 6 \) زیرا مخرج صفر میشود.
2. **حالت دوم: \( 0 \leq x < 6 \):**
- در این حالت \( |x| = x \)، بنابراین نامعادله به شکل زیر میشود:
\[
\frac{x}{x - 6} > 1
\]
- با سادهسازی:
\[
x > x - 6
\]
- که این شرط همیشه برقرار است.
- اما در این بازه \( x - 6 < 0 \) و نابرابری معکوس میشود، پس شرط برقرار نیست.
3. **حالت سوم: \( x < 0 \):**
- در این حالت \( |x| = -x \)، بنابراین نامعادله به شکل زیر میشود:
\[
\frac{-x}{x - 6} > 1
\]
- با ضرب طرفین در \(-1\):
\[
\frac{x}{x - 6} < -1
\]
- این معادله فقط وقتی برقرار میشود که \( x < 0 \).
**جمعبندی:**
مجموعه جواب این نامعادله به صورت زیر است:
\[
(-\infty, 0) \cup (6, \infty)
\]
در این بازهها، نامعادله داده شده معتبر است.
