برای حل قسمت (الف):
عبارت \(\frac{a+3}{2a+1}\) زمانی تعریف نشده است که مخرج کسر برابر با صفر شود:
\[
2a + 1 = 0
\]
حل این معادله:
\[
2a = -1
\]
\[
a = -\frac{1}{2}
\]
بنابراین، به ازای \(a = -\frac{1}{2}\)، عبارت تعریف نشده است.
برای حل قسمت (ب):
به حاصلعبارت داده شده را باید ابتدا فاکتورگیری کنیم و سپس به صورت سادهتری بنویسیم. فرض کنید که داریم:
\[
\frac{x^2 - 4x + 4}{4x^2y - 8xy} \div \frac{x^2 + x - 6}{6x^2 + 18x}
\]
ابتدا عبارتها را فاکتورگیری میکنیم:
1. \(x^2 - 4x + 4\) را به صورت \((x - 2)^2\) مینویسیم.
2. \(4x^2y - 8xy\) را به صورت \(4xy(x - 2)\) فاکتورگیری میکنیم.
3. \(x^2 + x - 6\) را به صورت \((x + 3)(x - 2)\) فاکتورگیری میکنیم.
4. \(6x^2 + 18x\) را به صورت \(6x(x + 3)\) فاکتورگیری میکنیم.
حالا مسئله به صورت زیر خواهد بود:
\[
\frac{(x - 2)^2}{4xy(x - 2)} \times \frac{6x(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)}
\]
کسر اول را با معکوس کسر دوم ضرب میکنیم:
\[
\frac{(x - 2)^2 \cdot 6x(x + 3)}{4xy(x - 2) \cdot (x + 3)(x - 2)}
\]
عبارت را ساده کنیم:
پس از کاهش عبارتها:
\[
\frac{6x}{4xy} = \frac{3}{2y}
\]
بنابراین، حاصل عبارت \(\frac{3}{2y}\) خواهد بود.
